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目录1

前言1

引言1

第一章　对反问题的描述5

1.1 反问题公式的建立5

1.2　线性反问题7

1.3　建立反问题公式的例子7

1.4　反问题的解13

第二章　有关概率论的某些评介16

2.1　噪音和随机变量16

2.2　相关数据19

2.3　随机变量的函数22

2.4　高斯分布23

2.5　高斯统计假设的检验26

2.6　置信区间27

第三章 线性、高斯反问题的解，观点之1：长度法29

3.1 估计值的长度29

3.2　长度的度量30

3.3　直线拟合的最小二乘法32

3.4 线性反问题的最小二乘解33

3.5　几个例子35

3.6　最小二乘解的存在性37

3.7　纯亚定问题40

3.8 混定问题42

3.9 长度的加权度量——先验信息的一种类型44

3.10　其它类型的先验信息46

3.12　最小二乘解的方差和预测误差49

3.11　模型参数估计值的方差49

4.1　解与算子52

4.2　数据分辨矩阵52

第四章　线性、高斯反问题的解，观点之2：广义逆法52

4.3　模型分辨矩阵54

4.4　单位协方差矩阵56

4.5　某些广义逆的分辨率和协方差57

4.6　分辨率和协方差的优度评价57

4.7　具有良好分辨率和协方差的广义逆58

4.8　旁瓣与Backus-Gilbert展布函数61

4.9　亚定问题的Backus-Gilbert广义逆63

4.10　协方差大小的计入65

4.11　分辨率和协方差之间的折衷66

5.1 一组测量值的均值70

第五章　线性、高斯反问题的解，观点之3：最大似然法70

5.2　线性反问题的最大似然解73

5.3　先验分布74

5.4　精确理论情况下的最大似然问题78

5.5　不精确理论79

5.6　应用线性理论的简单高斯情形82

5.7　一般的线性、高斯情形82

5.8　三种观点的等价性86

5.9　误差改进显著性的F检验86

5.10　5.7节中公式的推导88

第六章　非唯一性和局部化平均值90

6.1　零向量和非唯一性90

6.2　一个简单反问题的零向量91

6.3　模型参数的局部化平均值92

6.5　平均值与估计值93

6.4　局部化平均值与分辨矩阵的关系93

6.6　非唯一平均向量和先验信息94

第七章　向量空间的应用97

7.1　模型和数据空间97

7.2　Householder变换98

7.3　Householder变换的设计102

7.4　非定长变换104

7.5　混定问题的解105

7.6　奇异值分解及本征广义逆106

7.7　奇异值分解的推导111

7.8　线性等式和不等式约束的简化112

7.9　不等式约束113

8.1　L1范数和指数分布118

第八章　线性反问题和非高斯分布118

8.2　指数分布之均值的最大似然估计119

8.3　一般线性问题121

8.4　求解L1范数问题122

8.5　L∞范数125

第九章　非线性反问题127

9.1　参数化127

9.2　线性参数化方法129

9.3　高斯分布数据的非线性反问题131

9.4　几种特殊情况136

9.5　非线性L2问题的收敛性和非唯一性137

9.6　非高斯分布140

9.7　最大熵法143

10.1　因子分析问题145

第十章　因子分析145

10.2　归一化与物理上的约束148

10.3　Q型和R型因子分析150

10.4　经验正交函数分析151

第十一章　反演问题实例154

11.1　图象增强问题154

11.2　数字滤波器设计158

11.3　交叉误差的调整161

11.4　声学层析成像问题165

11.5　火成岩侵入体内的温度分布169

11.6　L1，L2，L∞范数下的直线拟合174

11.7　确定一组单位向量的均值177

11.8　高斯曲线拟合181

11.9　地震定位184

11.10　振动问题187

第十二章　数值算法191

12.1　常定问题的求解191

12.2 方阵求逆198

12.3　亚定问题和超定问题的求解200

12.4 带不等式约束的L2问题210

12.5　确定实对称矩阵的特征值和特征向量222

12.6　矩阵的奇异值分解225

12.7　单纯形法和线性规划问题227

附录A：拉格朗日乘子约束232

B：复变量的L2反演理论234

参考文献236

索引238