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第一章 代数问题1

第一节 函数与函数方程1

题型一 映射与函数3

题型二 函数基本性质4

题型三 函数最值问题7

题型四 构造函数解题11

题型五 函数的迭代13

题型六 函数不动点解题应用16

题型七 函数方程求解19

题型八 数学竞赛中的函数问题22

赛场训练25

第二节 多项式与方程（组）26

题型一 多项式的基本概念30

题型二 多项式的整除问题32

题型三 多项式的根与系数33

题型四 整系数多项式问题34

题型五 简单方程（组）的解36

题型六 条件方程组的构造性解法39

题型七 数学竞赛中的多项式问题43

题型八 多项式中的一些综合问题45

赛场训练49

第三节 不等式与最值49

题型一 不等式证明的基本方法52

题型二 不等式证明的构造方法55

题型三 平均值不等式证题57

题型四 柯西不等式解题60

题型五 排序不等式应用62

题型六 不等式的齐次与非齐次式64

题型七 不等式证明的导数法67

题型八 数学竞赛中的不等式题70

赛场训练75

第四节 数列与数学归纳法76

题型一 等差与等比数列80

题型二 数列通项的求法83

题型三 数列的性质86

题型四 构造递推式解题88

题型五 用周期性解题90

题型六 数列问题中的特殊化93

题型七 数学归纳法证题95

题型八 数学竞赛中的数列题98

赛场训练102

第二章 数论问题104

第五节 整数与余数104

题型一 整数的表示方法106

题型二 整数的整除问题108

题型三 最大公约数与最小公倍数110

题型四 素数及唯一分解定理111

题型五 整数问题的不等式估计113

题型六 数学竞赛中的整除问题115

赛场训练118

第六节 同余119

题型一 整除和余数问题120

题型二 求解和证明问题122

题型三 数论定理应用124

题型四 数论中的存在性问题126

题型五 阶及其应用129

题型六 数学竞赛中的同余问题131

赛场训练133

第七节 不定方程134

题型一 不定方程的基本概念135

题型二 不定方程的分解求法136

题型三 不定方程的同余求法139

题型四 解不定方程的常用技法141

题型五 不定方程与计数问题143

题型六 数学竞赛中的不定方程144

赛场训练147

第八节 高斯函数[x]与数论综合147

题型一 高斯函数简单应用148

题型二 高斯函数与方程、不等式150

题型三 高斯函数与存在性命题152

题型四 数论的求解问题155

题型五 数论的证明问题158

题型六 数论的综合问题160

赛场训练163

第三章 平面几何165

第九节 平面几何解题思路165

题型一 度量关系的证明165

题型二 位置关系的证明168

题型三面积关系解题170

题型四 有关几何量的计算173

题型五 轨迹问题177

题型六 几何证明的方法与技巧179

赛场训练182

第十节 几个重要定理183

题型一 梅内劳斯（Menelauss）定理183

题型二 塞瓦（Ceva）定理186

题型三 托勒密（Ptolemy）定理190

题型四 斯德瓦特（Stewart）定理和婆罗摩笈定理193

题型五 西姆松（Simson）定理和欧拉定理196

题型六 几个典型的几何问题198

赛场训练201

第十一节 几何中的运动202

题型一 结合几何图形的性质，利用平移变换研究问题203

题型二 结合图形的对称性，利用反射变换研究问题206

题型三 结合几何图形的结构特点，利用旋转变换研究问题208

题型四 结合角平分线的性质，利用轴反射变换处理问题210

题型五 根据几何图形线段比性质，利用位似变换解题212

题型六 利用反演变换解题213

赛场训练216

第十二节 几何不等式217

题型一 三角形中的典型不等式219

题型二 托勒密不等式证题221

题型三 圆内接四边形中的不等式223

题型四 等周极值问题226

题型五 经典线性几何不等式228

题型六 数学竞赛中的几何不等式231

赛场训练234

第四章 组合数学236

第十三节 组合问题236

题型一 计数原理和计数公式236

题型二 抽屉原理与平均值原理240

题型三 母函数和递推法计数244

题型四 配对原理（映射法计数）247

题型五 染色方法和赋值方法250

题型六 反证法和利用极端原理253

题型七 局部调整法与算二次255

题型八 数学竞赛中的存在性问题258

赛场训练261

第十四节 组合极值262

题型一 不等式控制和累次极值262

题型二 对称处理和磨光变换265

题型三 离散型最值的估计269

题型四 间距和划块估计271

题型五 整体估计和参数估计274

题型六 猜想与反证277

题型七 数学竞赛中的体育比赛问题280

题型八 数学竞赛中的组合极值问题282

赛场训练285

第十五节 组合几何286

题型一 凸图形与凸包286

题型二 图形覆盖问题289

题型三 极端原理和组合方法293

题型四 构造方法295

题型五 格点及性质298

题型六 组合求和301

题型七 极值填数问题304

题型八 数学竞赛中的组合几何307

赛场训练311

第十六节 图论及变换与对策312

题型一 图的基本概念312

题型二 树315

题型三 欧拉图317

题型四 平面图319

题型五 竞赛图321

题型六 操作变换问题324

题型七 数学博弈中的对策327

题型八 数学竞赛中的变换与对策331

赛场训练335

参考答案337